Question

一道初中数学题 谢谢

如果实数a,b满足a^2+b^2＝1，且关于x的两个方程x^2+ax+b=0和x^2+bx+a=0至少有一个公共实根，求a,b的值

Answer 1

a=-1，b=0
设X^2+aX+b=0为①
X^2+bX+a=0为②
a^2+b^2＝1为③

①-②得到（a-b）X=a-b
解得X=1
把X=1代入①或②中得到a+b=-1，即b=a+1
把b=a+1代入到③中得到a=0或者a=-1
所以得到两组答案：a=0，b=1
a=-1，b=0
把a=0，b=1代入到①中得到
X^2+1=0
X无实根
把a=-1，b=0代入到①中得到
X^2-X=0
可得X=0，X=1
X有实根
所以a=-1，b=0

Answer 2

设公共根为y
y^2+ay+b=y^2+by+a=0
所以(a-b)y=(a-b)
即a-b=0或y=1
第一种情况：a-b=0
2a^2=1 a=b=sqrt(2)/2
第二种情况：y=1
代入1*1+a*1+b=0 a+b=-1 a=-1-b
(-1-b)^2+b^2=1
2b^2+2b+1=1
b=0或-1
此时a=-1或 0

综上，(a,b)=(-1,0)或（0,-1)或（sqrt（2）/2，sqrt（2）/2）

Answer 3

分两种情况
1）有两个公共实根
则 两方程根据韦达定理
X1 + X2 = -a X3 + X4=-b
X1 * X2 =b X3 * X4 =a
由题意 a=b
则 a=b= √2 /2
2)只有一公共实根 设为Y
则有 Y^2+aY+b=Y^2+bY+a
则有 b=a 或 Y=1
那么有 b=a= √2 /2
或有 a=-1 b=0 或 a=0 b=-1
验根 a^2-4b≥0
b^2-4a≥0
只有 a=-1 b=0
或 a=0 b=-1 成立