相对论 的题目,解答过程要详细 高手来 10
太空火箭(包括燃料)的初始质量为Mo,从静止起飞,向后喷出的气体相对火箭(注意相对火箭)的速度u为常量,任意时刻火箭速度(相对地球)为v时火箭的静止质量为mo。忽略引力的...
太空火箭(包括燃料)的初始质量为Mo,从静止起飞,向后喷出的气体 相对
火箭(注意相对火箭) 的速度u为常量,任意时刻火箭速度(相对地球)为v
时火箭的 静止质量 为mo。忽略引力的影响,求比值mo/Mo于速度v之间的关
系。
要把相对论效应考虑进去啊~~
大家帮一下 谢谢!!! 展开
火箭(注意相对火箭) 的速度u为常量,任意时刻火箭速度(相对地球)为v
时火箭的 静止质量 为mo。忽略引力的影响,求比值mo/Mo于速度v之间的关
系。
要把相对论效应考虑进去啊~~
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2个回答
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由狭义相对论,我们知道,这个问题必然满足两个条件
第一,质量-能量守恒,也就是动质量守恒或者说总能量(包括动能和静能,静能就是通常说的物质能)守恒
第二,动量守恒。
好,我们来看一个最基本的微观过程,当火箭的速度从v变化为v+dv的时候,其质量分离出了dm。
质能守恒方程为:
m2=m1-dm
动量守恒方程为:
v*m1=v(喷射)*dm+m2*(v+dv)
上述方程在任意惯性参考系中成立,但是火箭不是匀速运动,所以不可以称作惯性参考系。于是,我们选择地球为参考系。
注意,在地球参考系下,质量和速度都是需要经过洛仑兹变换的。
洛仑兹变换下,地球上看到的质量m=m0(这是静质量)*gamma
地球上看到的火箭喷出物速度,当火箭速度为v时看到喷射物速度为-u,则根据洛仑兹变换,地球上看到的喷射物速度应该满足
v(喷射,地球看到的)=(-u+v)/(1-uv/c^2)
这里,我们定义火箭运动的方向为正方向,代入洛仑兹变换得到。
于是上面的守恒方程可以化为:
m1 * v=(-u+v)/(1-uv/c^2) *dm + (v+dv)(m1-dm)
展开后,去掉高阶小量dvdm,得到
0=(-u+v)/(1-uv/c^2) *dm - vdm+mdv ----关键方程1
我们看,当不考虑相对论的时候,这个方程怎么写呢?
质量守恒不变,能量守恒也不变,但是质量是静质量,速度也不用那么复杂
这个方程是
0=(-u+v)dm - vdm + mdv
即 udm = mdv,该式移项积分,积分范围m从Mo到mo,v从0到V
得到 V=ln(Mo/mo)*u,这是我们熟知的。
上面一块,证明了,我们写的关键方程1应该是正确的,因为它可以回到非相对论的形式。
好,下面的问题就是解 关键方程1
移项,分离变量到等号两侧,关键方程1变为
(c^2-uv)dv/(uc^2-uv^2) = dm/m
进一步化简
(1/u)[1/(1-v^2/c^2)]dv-(0.5dv^2)/(c^2-v^2) = dm/m
第一项用三角积分法,第二项可以直接用多项式积分
同样,m从M1积分到m1,v从0积分到V,得到
(c/2u)ln[(c+V)/(c-V)]-0.5ln(c^2)+0.5ln(c^2-V^2) = ln(M1/m1)
两边同时乘2,再取e的指数函数
(1-V^2/c^2)[(c+V)/(c-V)]^(c/u) = (M1/m1)^2
即 gamma^2 * [(c+V)/(c-V)]^(c/u) = (M1/m1)^2
前面提到过,m1=mo/gamma , 静止时M1=Mo
于是上面的式子化为:
[(c+V)/(c-V)]^(c/2u) = Mo/mo
好,问题结束。
第一,质量-能量守恒,也就是动质量守恒或者说总能量(包括动能和静能,静能就是通常说的物质能)守恒
第二,动量守恒。
好,我们来看一个最基本的微观过程,当火箭的速度从v变化为v+dv的时候,其质量分离出了dm。
质能守恒方程为:
m2=m1-dm
动量守恒方程为:
v*m1=v(喷射)*dm+m2*(v+dv)
上述方程在任意惯性参考系中成立,但是火箭不是匀速运动,所以不可以称作惯性参考系。于是,我们选择地球为参考系。
注意,在地球参考系下,质量和速度都是需要经过洛仑兹变换的。
洛仑兹变换下,地球上看到的质量m=m0(这是静质量)*gamma
地球上看到的火箭喷出物速度,当火箭速度为v时看到喷射物速度为-u,则根据洛仑兹变换,地球上看到的喷射物速度应该满足
v(喷射,地球看到的)=(-u+v)/(1-uv/c^2)
这里,我们定义火箭运动的方向为正方向,代入洛仑兹变换得到。
于是上面的守恒方程可以化为:
m1 * v=(-u+v)/(1-uv/c^2) *dm + (v+dv)(m1-dm)
展开后,去掉高阶小量dvdm,得到
0=(-u+v)/(1-uv/c^2) *dm - vdm+mdv ----关键方程1
我们看,当不考虑相对论的时候,这个方程怎么写呢?
质量守恒不变,能量守恒也不变,但是质量是静质量,速度也不用那么复杂
这个方程是
0=(-u+v)dm - vdm + mdv
即 udm = mdv,该式移项积分,积分范围m从Mo到mo,v从0到V
得到 V=ln(Mo/mo)*u,这是我们熟知的。
上面一块,证明了,我们写的关键方程1应该是正确的,因为它可以回到非相对论的形式。
好,下面的问题就是解 关键方程1
移项,分离变量到等号两侧,关键方程1变为
(c^2-uv)dv/(uc^2-uv^2) = dm/m
进一步化简
(1/u)[1/(1-v^2/c^2)]dv-(0.5dv^2)/(c^2-v^2) = dm/m
第一项用三角积分法,第二项可以直接用多项式积分
同样,m从M1积分到m1,v从0积分到V,得到
(c/2u)ln[(c+V)/(c-V)]-0.5ln(c^2)+0.5ln(c^2-V^2) = ln(M1/m1)
两边同时乘2,再取e的指数函数
(1-V^2/c^2)[(c+V)/(c-V)]^(c/u) = (M1/m1)^2
即 gamma^2 * [(c+V)/(c-V)]^(c/u) = (M1/m1)^2
前面提到过,m1=mo/gamma , 静止时M1=Mo
于是上面的式子化为:
[(c+V)/(c-V)]^(c/2u) = Mo/mo
好,问题结束。
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