Question

考研 线性代数 矩阵的几个问题

书没有带回家，郁闷。
AB=0 阵
1,则r(A)+r(B)<=n 为什么/
2,AB=AC A不=于0阵 不能推出B=C 。 若A是m*n矩阵，r(A）=n 命题才成立。

还有个问题， 求秩可以行列变换混用
求逆阵 只能用杭变换或者列变换，
为什么？

Answer 1

1,2题请点击看大图

乖乖,只能上1个图!

因为行变换或者列变换不改变矩阵的秩, 所以求秩可以行列变换混用.

而求逆阵,是由可逆矩阵都可表示为初等矩阵的乘积的性质决定的. 只能将这些初等矩阵都乘在左边(相当于行变换)或者都乘在右边(相当于列变换).可惜不能上图了.

Answer 2

好久不看了，下边瞎写个，呵呵
AB=0
则 B的秩小于等于
A [x1 x2 ... xn] T =0
的所有线性无关解得个数（设为m），而r(A)+m=n,所以 r(A)+r(B)<=n.

下边一个没有看懂你的意思，或者我忘光了不会了，哈 乱写一个
AB=0 AC=O很明显推不出B=C 设X1、X2分别是
A [x1 x2 ... xn] T =0的俩个解，X1不等于X2，设B=[X1 X1...X1] C=[X2 X2...X2] 则B不等于C
如果r(A)=n,则由第一问得之r(B)=R(c)=0，所以B=C=0矩阵。

第二问写的不规范，但是意思差不多，呵呵。

你网上找一些线性代数讲义都有的

Answer 3

1.
AB=0 则
B的列向量组[b1 b2...bn],
AB=A[b1 b2...bn]=[Ab1 Ab2...Abn]=0
若将bi看做未知向量，共有线性方程组n个。
但解集只有一个。
若齐次方程组系数矩阵A的秩为r，则解空间的秩为n-r，齐次方程组基础解系的基有n-r个向量。
所以B最多是秩=n-r,选择解空间中的向量构成矩阵B。
2矩阵乘与数量乘不同，因为涉及到向量空间，而数量乘没有方向。矩阵乘法与组合数学的乘法原则是一个道理。因为若A不是满秩矩阵，则有0的性质（数量0，方向0)，但A是满秩矩阵，可用矩阵乘法的元素一一对应方法，这里还有不是很清楚的地方。
3逆矩阵是方阵，不需要列变换。
一般等价矩阵都可同过行列变换计算。
可逆矩阵=初等矩阵的连乘积
--------新
2
AB=AC若A=0则B=C不成立。
若B=0,C=0则 B=C成立
若A是可逆矩阵(满秩矩阵)边左乘A的逆矩阵，可得B=C 。
这是线性代数基本计算，所以一般都能求解。
然而即使A不是可逆方阵，在有些条件下，仍可得B=C。但是在考研上好像不要求，因此有时间可向高等代数老师请教。初级的条件A是列满秩的矩阵。
3
求逆矩阵是计算，严格说与变换有区别。
计算对求定义域，值域没有特别要求，有些特殊值要讨论，一般在实数域。变换是映射，行变换属于线性变换，因此一定要先明确定义域，值域。例如等价，合同，相似都是变换，但是不是所有的矩阵都有这些变换，应在定义域内。而且也不是所有矩阵都在值域内。
行变换是将系数矩阵变换成阶梯矩阵，可看做结构变换。所以将方阵变换成单位矩阵，用到的初等矩阵连乘积正好是A的逆矩阵（A变换到单位矩阵）。所以严格说是将变换的方法用到求逆计算中，是线性代数的基本思想之一，但并不能说用行变换计算出了逆矩阵。
求秩是求矩阵的等价阶梯矩阵，可以包括非方阵，因此这里行列变换反而比求逆计算应用范围广泛。这是要注意的。
求矩阵的等价矩阵因为行数与列数可能不同，所以要行变换和列变换。
逆矩阵都是满秩矩阵。非满秩矩阵，与有全零行的矩阵（或转置矩阵）等价，所以将对应行称为0方向，但是可能并不确切，但是该怎样描述还没有想好。这是新的一个方向：结构计算的内容。但是与考研关系不大，所以不必深究。

Answer 4

秩的性质是无论行变换或者列变换，都不会变，所以才会这么重要
而求矩阵的逆，是只能用一种变换的，可以从定义来理解，一次变换相当于再左/右乘一个阵 我现在书不在身边，也不能讲的很清楚， 很抱歉

Answer 5

http://wenku.baidu.com/view/7712d24d2b160b4e767fcf4b.html