Question

高一函数题目

已知函数f(x) 2x^²+bx+c
= __________ (b<0)的值域是[1,3]
x²+1
1.求b、c的值
2.判断函数F(x)=lgf(x),x∈[-1,1]时的单调性,并证明你的结论

Answer 1

解析：∵x^2+1＞0,∴x∈R
则（2-y)x^2+bx+(c-y)=0有实数解
△=b^2-4(2-y)(c-y)≥0
即4y^2-4(2+c)y+8c-b^2≤0,
∵y的值域为【1,3】，
∴1+3=4（2+c)/4=2+c
1*3=(8c-b^2)/4
解之c=2,b^2=4,b＜0,∴b=-2
f(x)=（2x^2-2x+2)/(x^2+1)
设-1≤x1＜x2≤1
则F(x1)-F(x2)=lgf(x1)-lgf(x2)
=lg[f(x1)/f(x2)]
=lg[(x1^2-x1+1)(x2^2+1)]/[x2^2-x2+1) (x1^2+1)]
化简比较知
0＜[(x1^2-x1+1)(x2^2+1)]/[x2^2-x2+1) (x1^2+1)]＜1
∴lg[(x1^2-x1+1)(x2^2+1)]/[x2^2-x2+1) (x1^2+1)]＜0
即F(x1)-F(x2)＜0
∴F(x1)＜F(x2)
F(x)是【-1,1】上的增函数