Question

求一个函数题的解答方法

f[f(x)]=x的4次方-6x的平方+6，则f(x)=多少。答案是f（x）=x的平方-3.我想知道是怎么得出来的。

Answer 1

令f(x)=x^2+bx+c; (因为x^4的系数为1)
f(f(x)) = (x^2+bx+c)^2 + b(x^2+bx+c) + c

观察上式中x^3的系数为2b=0,所以b=0;
f(f(x)) = (x^2+c)^2 + c

再令x=0,于是
c^2+c = 6
c=2或-3

c=2 f(x)=x^2+2 f(f(x))=(x^2+2)^2+2=x^4+4x^2+6 不满足条件
c=-3 f(x)=x^2-3 f(f(x))=(x^2-3)^2-3=x^4-6x^2+6 满足条件

所以 f(x)=x^2-3

--------------------------------------------------

f[f(x)]=x^4-6x^2+6=(x^2-3)^2-3
令f(x)=a(x+b)^2+c
则f[f(x)]=a(a(x+b)^2+c+b)^2+c=a^3[(x+b)^2+(c+b)/a]^2+c
比较系数a=1
(x+b)^2+(c+b)/a=x^2-3
c=-3
解得 （x+b)^2+b=x^2
b=0
∴f(x)=x^2-3

我觉得网上这个解法好理解点