Question

高一数学集合

集合M={m|m=x2 –y2，x∈Z,y∈Z},问（1）：判断8，9，10，是否∈M；（2）若a∈M,b∈M,求证：ab∈M.
急求相关专家给予正确答案！！！！！！

Answer 1

（1）
x^2-y^2=(x+y)*(x-y)

于是m必可分解为2个整数k1,k2积：

x+y=k1
x-y=k2
得出：
x=(k1+k2)/2
y=(k1-k2)/2
于是限制条件为k1,k2之差为偶数（或同奇，同偶）。
8=4*2 是
9=1*9 是
10=1*10或2*5 不是

（2）
a b必可如下分解为两数乘：
第一种为 奇，奇， 偶，偶
奇*偶 为 偶
奇*偶 为 偶

第二种为 奇，奇， 奇，奇
显然
第三种为 偶，偶， 偶，偶
显然

Answer 2

(1)8∈M 8=3^2-1^2=9-1
9∈M 9=5^2-4^2=3^2-0^2
10不属于M
（2）设
a=(x1+y1)(x1-y1) , b=(x2+y2)(x2-y2),
则
ab=(x1+y1)(x1-y1)(x2+y2)(x2-y2)=(x1+y1)(x2+y2)(x1-y1)(x2-y2)=[(x1x2+y1y2)+(x1y2+y1x2)]*[(x1x2+y1y2)-(x1y2+y1x2)]=(x1x2+y1y2)^2-(x1y2+y1x2)^2
x1x2+y1y2为1整数，x1y2+y1x2为另一个整数
所以ab∈M.

Answer 3

m=x2 –y2=(x+y)(x-y),m的特征是2个整数的和乘以这2个整数的差
8=(3-1)*(3+1)
9=3*3，找不出这样的整数
10=2*5，也找不出这样的整数
所以只有8属于M

设a=(x1+y1)(x1-y1),b=(x2+y2)(x2-y2),则
ab=(x1+y1)(x1-y1)(x2+y2)(x2-y2)=(x1+y1)(x2+y2)(x1-y1)(x2-y2)=(x1x2+y1y2+x1y2+y1x2)[x1x2+y1y2-(x1y2+y1x2)]
x1x2+y1y2为1整数，x1y2+y1x2为另一个整数，所以ab符合集合M的特征，所以ab也是M的一个元素

Answer 4

8在 x=3 y=1
9在 x=5 y=4
10好像不在