Question

高数之导数

证明不等式：当0<x<π/2 时，sinx+tanx<2x.

Answer 1

题目好像错了吧，是sinx+tanx>2x
运用函数单调性：
令f(x)=sinx+tanx-2x,x∈（0，π/2），则
f′(x)=cosx+sec²x-2=(cos³x-2cos²x+1)/cos²x
=(1-cosx)[-(cosx-1/2)²+5/4]/cos²x
∵1-cosx≥0恒成立
∴只需考虑 -(cosx-1/2)²+5/4
令g(x)=-(cosx-1/2)²+5/4,cosx∈(0,1)
又∵g(x)关于cosx=1/2对称
∴g(0)=g(π/2)=1>0=[g(x)]min
∴g(x)在x∈(0，π/2)即cosx∈(0,1)上恒为正
∴f′(x)≥0
∴f(x)单调递增
∴f(x)>f(0)=0
即sinx+tanx>2x