Question

高一数学的问题，回答要有步骤啊！！

如题:设X,Y是关于T的方程t^2-2at+a+6=0的两个实根，则（x-1）^2+（y+1）^2的最小值是多少？

Answer 1

解：由根与系数的关系知
x+y=2a
xy=a+6
展开(x-1)^2+(y-1)^2
=x^2+y^2-2(x+y)+2
=(x+y)^2-2xy-2(x+y)+2
=4a^2-6a-10
由于方程有两个实根，所以其判别式△=4a^2-4(a+6)≥0，展开

△=4a^2-4(a+6)
=4a^2-4a-24
=4(a^2-a-6)
=4(a-3)(a+2)≥0

解这个不等式得：a≥3或a≤-2，

在a≥3或a≤-2的限制条件下，来求下式的最小值：
(x-1)^2+(y-1)^2
=4a^2-6a-10
=2(2a^2-3a-5)
=2(2a-5)(a+1)

考虑关于f(a)=4a^2-6a-10的抛物线，开口向上，与横轴的两个交点是：(-1,0)(5/2,0)，在限制条件下，它的有效区域是：a≥3或a≤-2，因此最小值应在a=3或a=-2处取得，
分别计算得
当a=3时，(x-1)^2+(y-1)^2=4a^2-6a-10=36-18-10=8；
当a=-2时，(x-1)^2+(y-1)^2=4a^2-6a-10=16+12-10=18；

很显然，(x-1)^2+(y-1)^2的最小值当a=3时取得为：8