Question

:（3）分解因式：（1+x）+x（x+1）+x（x+1）^2+...+x（x+1）^n（n为正整数）

怎样分解？详细一点，谢谢帮一下

Answer 1

解x（x+1）+x（x+1）^2+...+x（x+1）^n
=x（x+1)[(1+x)^n-1]/x
=(x+1)[(1+x)^n-1]
（1+x）+x（x+1）+x（x+1）^2+...+x（x+1）^n=1+x+(x+1)[(1+x)^n-1]
=(x+1)[(1+x)^n-1+1]
=(x+1)^(n+1)
先用等比数列求和，再合并

Answer 2

原式=(x+1)[1+x+x(x+1)+……+x(x+1)^(n-1)]
=(x+1)(1+x)[1+x+x(x+1)+……+x(x+1)^(n-2)]
=(x+1)^2(1+x)[1+x+x(x+1)+……+x(x+1)^(n-3)]
=(x+1)^3(1+x)[1+x+x(x+1)+……+x(x+1)^(n-4)]
如此反复n次
得到(x+1)^(n+1)