Question

几道奥数题

1、692,608.1126三数分别除以同一个自然数，得到的余数相同，那么这个自然数是多少？
2、某学校开展课外活动，每组5人多2人，每组6人多1人，每组7人少2人，求学生最少有多少人？

Answer 1

1.
692-608=84
1126-692=434
84和434的最大公约数为14
所以这个自然数是14的约数
1）除数如果是1，不会有余数，舍；
2）除数如果是2，因为692，608，1126都是2的整数倍，所以也不会有余数，舍；
3）除数如果是7，692/7=98余6；608/7=86余6；1126/7=160余6，符合条件；
4）除数如果是14，692/14=49余6，608/14=43余6，1126/14=80余6，符合条件；
所以这个自然数是7或14.

2.5a+2=6b+1=7c-2
5(a-1)+7=6(b-1)+7
所以这个数是5，6的最小公倍数30的整数倍+7，设其为30m+7
30m+7=7c-2
30（m+1）-23=7（c+3）-23
所以这个数是30和7的最小公倍数210的整数倍-23
这个数最小是210-23=187
所以学生最少有187人。

Answer 2

1.
因为三个数除以同一个数的余数相同，因此它们两个数之差必定能整除那个自然数，而这个自然数就是他们的差的公约数。
692-608=84=2*2*3*7
1126-692=434=2*2*7*31
1126-608=518=2*7*37
因为2没有余数
因此那个自然数是7或14

2.
要想除5余2，最小的是7
然后设需要增加5*m才能除6余1
=》7+5m=6n+1
=>5m=6(n-1)
=>m最小是6，因此是7+6*5=37
然后设要增加k组5*6=30才能除7余2
=》37+30*k=7*t-2
=》30k=7(t-5)+5
=>k最小是5
=>这个数是37+30*5=187
因此学生最少是187人