Question

一个不等式的题目，请高手指点我的错误在哪里

题目:X>0,Y>0,1/X+9/Y=1,求X+Y的最小值。
我的解法是这样的：根据A2+B2≥2AB,所以该式可以化成1=1/X+9/Y≥(1/X*9/Y)开根号*2，即XY≥36，开根号≥6，由此得到X=2,Y=18,但是X+Y却≥12，前后矛盾了，怎么回事，我自己找不出原因所在，望高手赐教。谢谢了。这道题的正确答案是X+Y≥16，也即X=4,Y=12.

Answer 1

问题在于，你求的是满足xy取最小值时的x+y
而题目要你求的是满足x+y取最小值时的x+y
正确的解法应用柯西不等式即可
（x+y）*（1/X+9/Y）>=(1+3)^2=16
此时有：x+y>=16

Answer 2

题外话：上面的解法正确，但对楼主错处的解释不到位，有些别扭，应该说具体点。不过还是建议把它纳为最佳答案，因为上面的答案虽然给的不多，但有主要的线索，很多具体的东西还要你自己想的（虽然这可能让你恼火），自己想到对自己帮助大些。我看到很多求解题的，不过大多数选最佳答案都是可抄的答案，不知他们是求懂还是求个可抄的来炒。

关于楼主错处的解释：一般来说，当X>0,Y>0时，有想x+y≥2*√(xy）。
当x+y值确定时，我们可确定xy的最大值；当xy值确定时我们可确定x+y的最小值
（想想是不是这样用的）
所以对于本题，给定1/X+9/Y=1，则可确定2*√(1/X*9/Y）的最大值，亦可确定xy的最大值，但题目要求的是X+Y的最小值，这就不能靠1=1/X+9/Y≥2*√(1/X*9/Y）求出X+Y的最小值。
以后不要一见到求和和求积最值的题目就只用x+y≥2*√(xy），要先看条件符不符合，用了求出来的是什么。
比较好的解法上面的答案已给出，我在说具体一点：
x+y=（x+y）*（1/X+9/Y）=1+9x/y+y/x+9≥10+2√（9x/y*y/x）=10+6=16.