Question

设函数f(x)=e^x-1-x-ax^2 若当x>=0时，f(x)>=0，求a的取值范围

详细的求解过程

Answer 1

易知
f(0)=0
f'(x)=e^x-1-2ax
f'(0)=0
f''(x)=e^x-2a
f''(0)=1-2a
当a<=1/2时
对任意的x>=0
f''(x)=e^x-2a>=1-1=0
所以f'(x)在定义域内为增函数
f'(x)>=f'(0)=0
所以f(x)为增函数，f(x)>=f(0)=0

为证明的严谨性，下面证明a>1/2 时存在x,使得f(x)小于0
当a>1/2时
存在0<x0<ln2a ,f''(x0)<0
所以f‘(x)在[0,x0]为减函数，所以 对任意的x∈[0,x0],f'(x)<f'(0)=0
所以f(x)在[0,x0]为减函数， 存在x∈[0,x0],f(x)<f(0)=0
故对a>1/2时原命题不成立。

所以a<=1/2

Answer 2

当x>=0时,e^x>=1..f(x)>=0,则ax^2+x+1<=e^x..
x=0时,f(x)=0....
那么x>=0,时f(x)>=0,即f(x)的最小值>=0..
f'(x)=e^x-1-2ax..
讨论若a<=0,则x>=0时，f'(x)>=0满足条件。
若a>0,则当x=0时f'(x)<0,那么f(0)=0，则当x>0时，f(x)在x大于0一点点的时候，总会小于0的。不可能满足条件。
。。。。。。。。。。。。
希望你好好看看，理解一下。所以总之a<=0..

Answer 3

e^x的Taylor展开式为1+∑x^n/(n!) (n从1到+∞)
写成带Peano余项的形式
e^x=1+x+x^2/2+o(x^2) o(x^2)表示x^2的高阶无穷小
由此看出a≤1/2时
f(x)=e^x-1-x-ax^2
=(1-a)x^2+o(x^2)≥0

a>1/2时
f(x)在x趋于0+时函数值小于0

故a≤1/2