Question

初中数学几何题一道~

在等腰直角三角形ABC中,∠A=90°,AC=9,点O在AC上,且AO=2，点P是AB上一动点，连接OP，将线段OP绕点O逆时针旋转九十度得到线段OD。要是点D恰好落在BC上，求AP的长
答案是5，求过程，谢~~

Answer 1

如图所示：

做辅助线DP'使得DP'垂直于AC，三角形ABC为等腰直角三角形，则AC=AB=9

OP'为OP旋转所得，则OP=OP'

又旋转角度为90

所以角AOP+角DOP'=角AOP+角APO

即角APO=角DOP'

又角P'DA=角CAB=90,OP=OP'

所以三角形AOP与三角形OP'D全等

则AO=DP'=2

又三角形ACB与三角形DCP'相似

所以三角形CDP'为等腰直角三角形

所以CD=DP'=2

所以OD=AC-CD-AO=5

又三角形全等

所以AP=OD=5

Answer 2

∵∠B=∠C=45°
∠DOC=∠PDB
∴△DOC∽△PDB
BP/DC=BD/OC=PD/OD=√2
设BP为x,DC=x/√2 ,BD=9√2 - x/√2
即:(9√2 - x/√2)/7 = √2
18-x=14
x=4

AP=9-4=5

Answer 3

因为∠POD=90度,所以∠AOP+∠DOC=90度，又因为∠A=90度,所以∠AOP+∠APO=90度,所以∠APO=∠DOC

因为线段OP绕点O逆时针旋转九十度得到线段OD，
所以OP=OD,即∠OPD=∠ODP=45度

所以∠ODC+∠PDB=∠APO+∠BPD=135度

又因为上面证得∠APO=∠DOC,
所以∠ODC+∠PDB=∠DOC+∠BPD＝135度

因为三角形ABC为等腰直角三角形，所以∠B＝∠C＝45度
所以∠ODC+∠DOC=∠BDP+∠BPD＝135度
即∠PDB=∠DOC,∠ODC=∠BPD

即三角形CDO与三角形BPD相似，所以
OC/BD=OD/DP=CD/BP
又因为在等腰直角三角形POD中，OD/DP＝√2/2 （符号√代表根号）
所以OC/BD=CD/BP=√2/2

又因为OC=7
所以BD=7√2
CD＝9√2-7√2＝2√2
所以BP＝4
所以AP＝AB-BP＝9-4＝5
结果为AP＝5

Answer 4

如图，通过D点作AC的垂线交AC于E点

因为OPD是等腰直角三角形

=》角POD=90度

角AOP+角POD+角COD=180度

=》角AOP+角COD=90度

角APO+角AOP=90度

=》角COD=角APO

又因为OP=OD（等腰直角三角形两直角边）

所以

直角三角形AOP全等于直角三角形EOD

=》AP=OE，DE=AO=2

三角形DEC也为等腰直角三角形

=》EC=DE=2

AC=AO+OE+EC=AO+AP+EC=2+AP+2=9

=>AP=5

Answer 5

以A点为原点，AB为x轴建立直角坐标系

CB： x+y=9

O(0,2)

P(x,0)

D(a,b)

由题意：OP=OD, OP⊥OD, D在CB上

（坐标化）：

x^2+4=a^2+(b-2)^2 (1)

a+b=9 (2)

用向量表示OP⊥OD，ax=2b-4 (3)

(2)带入(3)

ax=14-2a (4)

(2)带入(1)

a^2+(a-7)^2=x^2+4 (5)

(4)带入(5)

a=2，带入（4） x=5

Answer 6

点D在BC上，过D作DQ⊥AC于点Q
因为OP=OD，易得：
Rt△DOQ≌Rt△OPA
所以：OQ=AP,DQ=OA=2
易知，△DQC为等腰直角三角形
故：CQ=DQ=2
所以：OQ=AC-OA-CQ
=9-2-2
=5
所以，AP=5