Question

一道数学函数题

已知集合D={（x1,x2) x1>0,x2>0,x1+x2=k},其中k为正常数。
（1）设U=x1*x2,求U的取值范围；
（2)在（1）的条件下，设g（x1,x2)=(1/x1-x1)*(1/x2-x2),试将g(x1,x2)表示为关于U的函数并证明：当k>=1时，不等式（1/x1-x1)*(1/x2-x2)<=（k/2-2/k)^2对任意（x1,x2)属于D恒成立；
（3）求使不等式（1/x1-x1)(1/x2-x2)>=(k/2-2/k)^2对任意(x1,x2)属于D恒成立的k的取值范围？

Answer 1

1.D={(X1,X2)|X1>0,X2>0,X1+X2=K｝，u=X1X2，那么0<X1X2<=【（x1+x2）/2】^2。即0<X1X2<=k^2/4.
2.(1/X1-x1)(1/X2-X2）化简=（1-x1^2-x2^2+x1^2x2^2）/(x1x2),代入k，
=（1-k^2+x1^2x2^2+2x1x2）/(x1x2)
令F(X)=(k/2-2/k)^2-（1-k^2+x1^2x2^2+2x1x2）/(x1x2)，而0<X1X2<k^2/4，所以推导
=k^2/4+4/(k^2)-4+(k^2-1)/(x1x2)-x1x2
>=k^2/4+4/(k^2)-4+(k^2-1)*4/k^2-k^2/4
>=0
3.在2的基础上得到F(X)=k^2/4+4/(k^2)-4+(k^2-1)/(x1x2)-x1x2>=0,则k>0