Question

一道数学找角关系题

如图（1），△ABC中，延长BC,∠ABC与∠ACD的平分线交于点A1，请找出∠A与∠A1的关系。
如图（2），若（1）中的△ABC中的∠A=120°，∠A1CD的角平分线相交于A2,以此类推，∠A4B的角平分线与∠A4CD的角平分线相交于点A5，那么你能写出A5,那么你能写出∠A5的大小么？

Answer 1

（1）根据三角形外角的性质
因为 ∠ACD=∠A+∠ABC
所以 1/2∠ACD=1/2∠A+1/2∠ABC
因为 A1B是∠ABC的平分线，A1C是∠ACD的平分线
所以 ∠A1BC=1/2∠ABC,∠A1CD=1/2∠ACD
又因为 ∠A1CD是三角形A1BC的一个外角
所以 ∠A1CD=∠A1BC+∠A1
推出 ∠A1= ∠A1CD-∠A1BC
综上可以得到,∠A1CD = 1/2∠A+∠A1BC
推出 ∠A1CD -∠A1BC=1/2∠A
得 ∠A1 = 1/2∠A
角A2=(1/2)角A1.
角A3=(1/2)角A2.
角A4=(1/2)角A3.
角A5=(1/2)角A4.
∠An= 120/2^n A5=3.75度

Answer 2

A+B+C=180度
1.
三角形BA1C中
∠BCA1=∠B/2+∠BCA1+∠A1
=∠B/2+(∠C+1/2∠ACD)+∠A1
=∠B/2+∠C+1/2(∠A+∠B)+∠A1
=∠B+∠C+∠A/2+∠A1=180度

=》∠A/2+∠A1=∠A
=>∠A1=∠A/2

2.
通过1的证明，可知∠An=1/2*∠An-1=1/2^n*∠A
因此∠A5=1/2^5*∠A=∠A/32

Answer 3

1.A=2A1
∠ABC的一般设为∠1 ∠ACD的一半设为∠2
则有，ACD 是三角形ABC外角，2∠2=A+2∠1，ACD是三角形ABC外角，2∠2=∠1+A1，解这俩式子得，A=2A1
2.A5=1/32A=3.75度
A =2A1
A1=2A2
A2=2A3
A3=2A4
A4=2A5
推出 ：A5=1/32A

Answer 4

解答如下：
角ACD为三角形A1BC的外角
＜A1CD＝＜A1+<A1BD [1]
同理<ACD=<A+<ABC [2]
又A1C平分<ACD
<A1CD＝2＼1<ACD [3]
由[1][2][3]得＜A1＝2＼1＜A

类推得<A5＝32＼1<A=4＼15

Answer 5

解：（1）令AC与BA1的交角为角1，∠ABC与∠ACD的平分角分别为角2、角3。
有三角形的内角和性质得知∠A1+∠1+∠3=Л，∠A+∠1+∠2=Л 两式相减得
∠A1+∠3=∠A+∠2，又∠A1+∠2=∠3 则2∠A1=∠A
（2）同（1）理得知∠A=2∠A1,∠A1=2∠A2,∠A2=2∠A3,∠A3=2∠A4,
∠A4=2∠A5,又∠A=120°=2Л/3,所以∠A5=Л/48

Answer 6

第一问：因为∠ACD为△ABC的一个外角，所以∠ACD=∠ABC+∠A 又因为A1B为∠ABC的平分线，所以∠ABC=2∠A1BC 所以∠ACD=2∠A1BC +∠A 又因为∠A1CD为 △A1BC的一个外角，所以∠A1CD=∠A1BC+∠A1 又因为A1C为∠ACD的角平分线 所以∠ACD=2∠A1CD 所以2∠A1BC +∠A =2（∠A1BC+∠A1 ） 所以∠A=∠A1

第二问：同理可得∠A=2∠A1=4∠A2=8∠A3=16∠A4=32∠A5 因为∠A=120° 所以 ∠A5=120°÷32=3.75°