Question

已知圆C：x²+y²-2x+4y-4=0,问是否存在斜率为1的直线L，使得L被圆C截得的弦AB

为直径的圆经过原点，若存在，写出直线L的方程；若不存在，说明理由。（若存在写出直线的一般是）

Answer 1

解:圆 C: (x-1)^2 + (y+2)^2 = 9

设 L: y = x + a

x^2+x^2+2ax+a^2-2x+4x+4a-4=0

2x^2 + (2a+2)x + a^2+4a-4 =0

x1,2 = 1/2 * (-a-1 +/- 根号(-a^2-6a+9))

y1,2 = 1/2 * (a-1 +/- 根号(-a^2-6a+9))

|x2-x1| = 根号(-a^2-6a+9)

|y2-y1| = 根号(-a^2-6a+9)

(x2+x1)/2 = 1/2 * (-a-1)

(y2+y1)/2 = 1/2 * (a-1)

弦AB为直径的圆的圆心为 P(1/2 * (-a-1), 1/2 * (a-1))

因为弦AB为直径的圆经过原点, 所以 4PO^2 = |x2-x1|^2 + |y2-y1|^2

4(1/4 * (a+1)^2 + 1/4 * (a-1)^2) = 2(-a^2-6a+9)

a^2 + 3a - 4 = 0

(a-1)(a+4) = 0.

a1 = -4, a2 = 1.

注意需要 -a^2-6a+9 >= 0 不然没有交点, 所以

a = -4, -a^2-6a+9 = -16+24+9 > 0

a = 1, -a^2-6a+9 > 0

所以两个都可以

L: x - y + 1 = 0 或者 x - y - 4 = 0