Question

有数学题一道，请帮忙解析

若a、b、c、d均为正数，且a4+b4+c4+d4=4abcd,求证a=b=c=d
大家帮帮忙
本人在其谢谢了

Answer 1

证明：
由已知可得
a^4+b^4+c^4+d^4-4abcd=0，
(a^2-b^2)^2+(c^2-d^2)^2+2a^2*b^2+2c^2d^2-4abcd=0，
所以
(a^2-b^2)^2+(c^2-d^2)^2+2(ab-cd)^2=0．
因为(a2-b2)^2≥0，(c2-d2)^2≥0，(ab-cd)^2≥0，所以
a^2-b^2=c^2-d^2=ab-cd=0，
所以 (a+b)(a-b)=(c+d)(c-d)＝0．
又因为a，b，c，d都为正数，所以a+b≠0，c+d≠0，所以
a＝b，c=d．
所以
ab-cd=a^2-c^2=(a+c)(a-c)=0，
所以a＝c．故a=b＝c=d成立．

Answer 2

根据均值不等式：
a^4+b^4+c^4+d^4≥4*(a^4*b^4*c^4*d^4)^(1/4)=4abcd
已知a^4+b^4+c^4+d^4=4abcd，所以a=b=c=d

Answer 3

ABCD同时除以4 ok