Question

三角函数求值域

函数y=sinx（sinx+cosx）（x∈[0,π/2]）的值域是？

Answer 1

由半角公式可得：sin2x =(1-cos2x）/2
由二倍角公式可得：sinxcosx =sin2x/2
所以y =sinx（sinx+cosx）
= sin2x+ sinxcosx
=（1-cos2x）/2+ sin2x/2
=1/2+1/2*（sin2x-cos2x）
=1/2+(根号2)/2*[(根号2)/2sin2x-(根号2)/2cos2x]
=1/2+(根号2)/2*（cosπ/4sin2x-sinπ/4cos2x）
=1/2+(根号2)/2*sin（2x-π/4）
由y =sinx的性质可知sin（2x-π/4）在x∈[0,π/2]的值域是[-(根号2)/2,1]
所以y =sinx（sinx+cosx）在x∈[0,π/2]的值域是[0,1/2+(根号2)/2]

Answer 2

原式=(根号2)/（2）sin（2x-π/4）+1/2
（2x-π/4）属于-π/4<=t<=3π/4
值域0<m<(根号2)+1/2