Question

一道初三数学题：是否存在质数p、q使得关于x的一元二次方程px²－qx+p=0有有理数跟

Answer 1

存在
证明：
因为方程px^2+qx+p=0,且方程有有理数解
所以q^2-4p^2为平方数
设q^2-4p^2=k^2
q^2-k^2=4p^2
(q-k)(q+k)=4p^2
因为p,q为质数，且k>0
所以q+k>q-k,p^2>=4
可得出一下几组解

(1)q-k=1,q+k=4p^2
相加得：2q=(1+4p^2)
q=(4p^2+1)/2
因为4p^2为偶数
所以4p^2+1为奇数
所以q不是整数
所以不成立

(2)q-k=2,q+k=2p^2
所以q=p^2+1
因为质数除2以外都是奇数
所以当质数p>2
所以p^2为奇数
所以p^2+1为偶数且大于2，即q为大于2得偶数，那么与q为素数不符
所以有且只有p=2时
q=2^2+1=5
所以有一组解:p=2,q=5

希望我的回答对你有帮助，采纳吧O(∩_∩)O！

Answer 2

存在 (p,q)=(2,5)
详解如下
有有理数根，则△=m^2(根号下b^2-4ac,所以△必须是完全平方数)
所以q^2-4p^2=m^2
(q-m)（q+m）=4p^2
以下分类
1、q-m=1 q+m=4p^2
2q=4p^2+1
2q是偶数，4p^2+1是奇数，不可能
(2)q-m=2,q+m=2p^2
所以q=p^2+1
因为质数除2以外都是奇数
所以当质数p>2
所以p^2为奇数
所以p^2+1为偶数且大于2，即q为大于2得偶数，那么与q为素数不符
所以有且只有p=2时
q=2^2+1=5
所以有一组解:p=2,q=5
（3）剩下的都不存在了，还是用奇偶性来讨论就可以了

Answer 3

利用韦达定理即可。