Question

一道数列难题

数列{an}满足a1=1，a（n+1）=an+2，且前n项的和为Sn。
1求数列{Sn/n}的前n项和Tn；
2求数列{1/Tn}的前n项和。
答题过程明白

Answer 1

a(n+1)-an=2，为定值，数列{an}为等差数列。
an=1+(n-1)*2=2n-1
前n项和Sn=n*1+n(n-1)*2/2=n+n^2-n=n^2

Sn/n=n^2/n=n
Tn=1+2+...+n=n(n+1)/2

1/Tn=2/[n(n+1)]=2[1/n-1/(n+1)]

Sn=2[1-1/2+1/2-1/3+...+1/(n-1)-1/n]
=2(1-1/n)
=2(n-1)/n

Answer 2

由a（n+1）=an+2,
得a（n+1）-an=2,
所以数列{an}是以1为首项，公差为2的等差数列。
且前n项的和为Sn=na1+n(n-1)*d/2=n^2
1.Sn/n=n^2/n=n
显然数列{Sn/n}以1为首项，公差为1的等差数列
Tn=n+n(n-1)/2=(n^2+n)/2
2.由1可得出
数列{1/Tn}的通项为2/(n^2+n)=2/n(n+1)=2*1/n(n+1)
=2*[1/n-1/(n+1)]
则数列{1/Tn}的前n项和=2*[1-1/2+1/2-1/3+1/3-1/4+...1/n-1/(n+1)]=2*[1-1/(n+1)]=2n/(n+1)

Answer 3

第(1)题 a(n)=1+2(n-1)=2n-1
s(n)=n+n(n-1)=n^2
S(n)/n=n
t(n)=n(n+1)/2
第二题
1/t(n)=2/[n(n+1)]=2[1/n-1/(n+1)]
∑1/t(n)=2（1-1/2）+2（1/2-1/3）+……+2[1/n-1/(n+1)]
=2[1-1/(n+1)]=2n/(n+1)