Question

一题高一数学题目

已知 f(X)=ax^2+bx+c,若f(0)=0,且f(x+1)=f(X)+x+1,求f(X)

Answer 1

设f(x)=ax^2+bx+c
f(0)=c=0
所以：f(x)=ax^2+bx
因为f(x+1)=f(x)+x+1
所以a(x+1)^2+b(x+1)=ax^2+bx+x+1
做到这里，有两种解法，一个是全部展开，然后对应项系数相等，解方程。此法2L解答正确
另外一种则比较简便，既然2式相等，就用特殊值代入：由f(x+1)=f(X)+x+1，
令x=-1,则f(-1)=f(0)=0 所以a-b=0 a=b 在令x=0 则f(1)=f(0)+1=1 所以a+b=1
所以a=b=1/2

所以f(x)=(1/2)x^2+(1/2)x

Answer 2

f(X)=ax^2+bx+c f(0)=0
所以 c=0
设x=-1，则代入f(x+1)=f(X)+x+1，f(X)=ax^2+bx+c
可求a=b
设x=0，代入则代入f(x+1)=f(X)+x+1，f(X)=ax^2+bx+c
可求a+b+1=0
所以f(X)=-1/2x^2-1/2x

Answer 3

解：f(0)=0+0+c=0
所以c=0
f(x+1)=a(x+1)²+b(x+1)
=ax²+(2a+b)x+(a+b)
=f(x)+x+1
=ax²+(b+1)x+1
所以
2a+b=b+1
a+b=1
所以a=b=1/2
f(x)=x²/2+x/2