Question

一道高一数学题（请进！请详细说明！谢谢！）

函数f(x)=(sin2xcosx)/(1-sinx)的值域是 ( )
A (-1/2，+ ∞) B [-1/2，4 )
C (-1/2 ,4) D [-1/2, 4]

Answer 1

f(x)=sin2xcosx/(1-sinx)=2sinx*(cosx*cosx)/(1-sinx)
=2sinx*(1-sinx)*(1+sinx)/(1-sinx)
=2sinx*(1+sinx),(sinx不等于1）
=2*(sinx+sinx*sinx)
=2*[(sinx+1/2)^2-1/4]
因为-1<=sinx<1
所以-1/2<=(sinx+1/2)<3/2
所以-1/2<=2*[(sinx+1/2)^2-1/4]<4
所以函数的值域为[-1/2,4)

参考:

根据2倍角公式sin2x=2sinxcosx和sin²x+cos²x=1
y=sin2x*cosx/(1-sinx)
=2sinxcosx*cosx/(1-sinx)
=2sinxcos²x/(1-sinx)
=2sinx(1-sin²x)/(1-sinx)
=2sinx(1+sinx)(1-sinx)/(1-sinx)
=2sinx(1+sinx)
=2sin²x+2sinx
=2(sin²x+sinx+1/4)-1/2
=2(sinx+1/2)²-1/2
由于1-sinx为分母1-sinx≠0，即sinx不能为1，sinx的大小只能取到[-1,1)
(sinx+1/2)²在sinx>-1/2时单调递增，sinx<-1/2时单调递减，
sinx=-1/2时取得最小值 ymin=-1/2
sinx≈1时取到最大值4，但是sinx不能为1，因此取不到。
ymax趋近于4
综上所述原函数的值域为[-1/2,4)

Answer 2

sin2xcosx=2sinx(cosx)^2=2sinx(1-(sinx)^2)=2sinx(1+sinx)(1-sinx)

定义域满足sinx不等于1

这下可以自己做了吧

Answer 3

B

先将分母分子同乘以(1+sinx),使分母变为cosx^2；又由sin2x=2sinxcosx，代入，则变为(2sinxcosx^2)(1+sinx)/cosx^2,即f(x)=2sinx(1+sinx）；
可化为f(x)=2(sinx+1/2)^2-1/2,所以有最小值-1/2,在sinx=-1/2时取到；又由sinx的范围为-1到1，所以有最大值f(1)=4。 又由于分母不能为0，所以sinx不能取到1，所以取不到4。

Answer 4

选第四个 可以用特殊值法进行排除