Question

一道高三数列题目 做出来算你牛

各项为正的数列，a(1)=1 a(n+1)=ln(a(n))+a(n)+2, 证明a(n)小于等于 2（n）(幂函数)-1

Answer 1

数学归纳法：
当n=1时 a1=1<=2^1-1=1 成立；
假设当n=k(k>=2)时有ak<=2^k-1,那么
a(k+1)=ln(ak)+ak+2<=ln(ak)+2^k+1

下面证明当x>1时x-1>lnx恒成立。
设f(x)=x-1-lnx 则f(1)=0
当x>1时，f'(x)=1-1/x>0 单调递增，
所以当x>1时恒有lnx<x-1

故a(k+1)<=ln(ak)+2^k+1<ak-1+2^k+1<=2^k-1-1+2^k+1=2^(k+1)-1
即当k>=2时有a(k+1)<2^(k+1)-1;
综合得 an<=2^n-1 (n为正整数)