Question

数学题，数学好的请进

若m>0,n>0,m^3+n^3=2，证明m+n《2。

请用反证法证明。
（：这下子就不是简单的题目了吧，嘎嘎嘎。
果然很简单，是我想复杂了……
一个地方地写错了……呵呵。
正好三个发投票，谢谢各位的回答。

Answer 1

用反证法就更简单了！
证明：假设m+n>2
m^3+n^3=(m+n)(m^2-mn+n^2)
>=(m+n)[m^2+n^2-(m^2+n^2)/2] (当且仅当m=n取等)
=2m*m^2=2m^3
因为m+n>2,所以m>1;即：2m^3>2
这与m^3+n^3=2矛盾！故假设不成立，所以m+n<=2

Answer 2

假设m+n>2
则m+n>=2√mn>2
因为m^3+n^3=2
又m^3+n^3>=2√m^3n^3=2mn√mn=2
则√mn>1,mn<1
假设不成立，所以m+n《2

Answer 3

证明：
假设m+n>2
则m³+n³
=(m+n)(m²+n²-mn)
＞2(m²+n²-mn)
=2(m²+n²+2mn)-6mn
=2(m+n)²-6mn
≥2(m+n)²-6[(m+n)/2]²
=(m+n)²(2-6/4)
=(m+n)²/2
＞2
即m³+n³＞2，与条件矛盾
∴m+n≤2