Question

设向量a,b,c 是单位向量且向量a·b=0，则（向量a-c）·（向量b-c）的最小值为？

Answer 1

(a-c)(b-c)
=a·b-a·c-b·c+c^2
=-a·c-b·c+1
=-c·(a+b)+1
由于a、b垂直，且a、b都是单位向量，故a+b=根号2·a
∴原式＝-c·(根号2a)＋1
=|根号2a|·|-c|·cosα+1
=根号2cosα+1
≥-根号2+1
其中α是向量根号2a与向量-c的夹角
也就是将三个向量都移至原点时，a、b成90°角，而c与向量a+b同向时，有最小值-根号2+1

Answer 2

(a-c)(b-c)
=a·b-a·c-b·c+c^2
=-a·c-b·c+1
=-c·(a+b)+1
由于a、b垂直，且a、b都是单位向量，故a+b=根号2
∴原式＝-c·(根号2)＋1
=|根号2a·|-c|·cosα+1
=根号2cosα+1
≥-根号2+1
其中α是向量根号2a与向量-c的夹角
a、b成90°角，而c与向量a+b同向时，有最小值-根号2+1