Question

一道数学题,关于圆的~

在直角三角形△ABC中,∠C=90度,AB=c,AC=b,BC=a,内切圆的半径为r,求证;
r=(a+b-c)/2
谢谢~(10分)

Answer 1

证明：过内切圆的圆心O分别作OD⊥AB，OE⊥AC，OF⊥BC，垂足分别为点D，E，F．
∵∠C＝90度，OE⊥AC，OF⊥BC，
∴四边形CEOF是矩形，（有三个角是直角的四边形是矩形）
∴CE＝CF＝OE＝r，
又∵AC=b,BC=a，
∴AE＝AC-CE＝b-r,
BF＝BC-CF＝a-r,
又∵内心O是角平分线的交点，
∴AE平分∠CAB，
∵OD⊥AB，OE⊥AC，
∴△AOD≌△AOE（AAS）
∴AD＝AE＝b-r，
同理
△BOD≌△BOF
∴BD＝BF＝a-r,
∵AB＝AD+BD
∴c=(b-r)+(a-r)
∴2r=a+b-c
∴r=(a+b-c)/2.