Question

一道简单的高中几何证明题

如图，棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，
（1）求证：AC⊥平面B1D1DB；
（2）求证：BD1⊥ACB1
(3)求三棱锥B-ACB1的体积

Answer 1

因为BB1垂直平面ABCD，所以BB1垂直于AC，又AC，BD是正方形ABCD的对角线，所以AC垂直BD，所以AC垂直于平面BB1D1D

AC垂直于平面BB1D1D，所以AC垂直于BD1，由1的结论同理可证CB1垂直于平面ABC1D1，所以CB1垂直于BD1，所以BD1垂直于平面ACB1

VB-ACB1=1/3*（1/2*AB*BC）*BB1=1/6

Answer 2

（1）ABCD为正方形，AC垂直面ABCD
BB1垂直于AB和BC，所以BB1垂直于面ABCD,又因为AC属于面ABCD，BB1垂直于AC
AC垂直于DB和BB1
AC垂直于面B1D1DB
（2）AC垂直于面DBB1D1，BD1属于这个面，AC垂直于BD1，同理BD1垂直于AB1得BD1垂直于面ACB1
（3）面ABC面积0.5，高BB1是1，所以体积0.5乘以1乘以1/3，得1/6