Question

简单的数学问题

1.设y=f(x)是定义在R上的函数，且满足等式f(10+x)=f(10-x)且f(20-x)=-f(20+x),则y=f(x)是
A。偶函数，又是周期函数
B。偶函数，但不是周期函数
C。奇函数，又是周期函数
D。奇函数，但不是周期函数
（请把解答过程详写）

Answer 1

f(20-x)=f[10-(x-10)]=f[10+(x-10)]=f(x)
f(20+x)=f[10+(10+x)]=f[10-(10+x)]=f(-x)
因为f(20+x)=-f(20-x)
所以-f(x)=f(-x)
所以f(x)是奇函数
令t=10+x，则10-x=20-t
f(t)=f(20-t)
所以f(20+t)=f(-t)
因为f(20+x)+f(20-x)=0
所以f(t)+f(-t)=0，所以f(x)是奇函数
所以f(10-x)=f(x-10)=f(x+10)
令x-10=m,x+10=m+20
有f(m)=f(m+20)，所以f(x)是以T=20为周期的奇函数
答案是 C

Answer 2

答案选c

Answer 3

f(10+(x-10))=f(10-(x-10))即f(x)=f(20-x)
f(10+(x+10))=f(10-(x+10))及f(20+x)=f(-x)

由题意，f(20-x)=-f(20+x),故f(x)=-f(-x)奇函数
f(20-x)=-f(20+x)=f(-x-20)
故f(x)是周期函数

Answer 4

f(x)=f(10+(x-10))=f(10-(x-10))
=f(20-x)=-f(20+x)
=-f(10+(x+10))=-f(10-(x+10))
=-f(-x)

f(20-x)=-f(20+x)=f(-x-20),令-20-x=m,20-x=m+40
有f(m)=f(m+40)

固选C

Answer 5