Question

高一数学 三角函数

求证：若cos(A-B)cos(B-C)cos(C-A)=1,则△ABC是等边三角形

Answer 1

显然有：
－1＜cos(A－B)≤1
－1＜cos(B－C)≤1
－1＜cos(C－A)≤1
∴－1＜cos(A－B)cos(B－C)cos(C－A)≤1
当且仅当A－B＝B－C＝C－A＝0时，上式等于1成立
故A＝B＝C，是等边三角形

Answer 2

cos(A-B)=1
cos(B-C)=1
cos(C-A)=1
所以A=B B=C C=A
即A=B=C
所以△ABC为等边三角形

Answer 3

因为 |cos(A-B)|<=1，|cos(B-C)|<=1，|cos(C-A)|<=1，
所以 |cos(A-B)cos(B-C)cos(C-A)|<=1.
但由题意，cos(A-B)cos(B-C)cos(C-A)=1，
因此必有 |cos(A-B)|=|cos(B-C)|=|cos(C-A)|=1.
注意到A,B,C是三角形的三个内角，必有 -180<A-B<180，从而若 |cos(A-B)|=1，则只能有 cos(A-B)=1. 同理 cos(B-C)=cos(C-A)=1.
由此得到 A-B=B-C=C-A=0，从而 A=B=C，△ABC是等边三角形。