Question

f(n)=1+1/2+1/3+...+1/n,是否存在关于自然数N的函数g(n)

设f(n)=1+1/2+1/3+...+1/n,是否存在关于自然数N的函数g(n),使等式f(1)+f(2)+....+f(n-1)=g(n)f(n)-1,对于n＞2或n=2的一切自然数成立，证明你的结论成立。

Answer 1

1
1 1/2
1 1/2 1/3

1 1/2 1/3 ... 1/n-1

n-1+(n-1-1)/2+(n-1-2)/3+...+(n-1-(n-2))/(n-1)
n-(n-1)+n/2+n/3+...+n/(n-1)
1+n(1/2+1/3+...+1/(n-1))
n(1/2+1/3+...+1/(n-1)+1/n)
1+n(1+1/2+1/3+...+1/(n-1)+1/n)-n-11
1 1/2
1 1/2 1/3
...
1 1/2 1/3 ... 1/n-1
f(1)+f(2)+...+f(n-1)
=n-1+(n-1-1)/2+(n-1-2)/3+...+(n-1-(n-2))/(n-1)
=n-(n-1)+n/2+n/3+...+n/(n-1)
=1+n(1/2+1/3+...+1/(n-1))
=n(1/2+1/3+...+1/(n-1)+1/n)
=n(f(n)-1)
g(n)不存在吧...虽然一般这类题目都是应该存在的...