Question

高中对数函数

已知函数f(x)=㏒a(2-ax),是否存在实数a，使函数f(x)在【0,1】上是关于x的减函数，若存在，求a的取值范围。

Answer 1

先讨论底数a。还要知道复合函数单调性的规律（同增异减）设g(x)=2-ax
首先方程成立，所以2-ax>0
1'当a>1时，即(2-ax)在x属于【0,1】上单调递减
所以g(0)>g(1),即2>2-a,恒成立
x取1时，要满足2-ax>0，所以 1<a<2
2"当0<a<1时，即(2-ax)在x属于【0,1】上单调递增
所以g(0)>g(1)，即2<2-a,恒不成立
综上，1<a<2

Answer 2

在f(x)中底数a>0,所以2-ax减函数，又因为f(x)减，所以外函数增，即a>1
函数定义域 2-ax>0 ax<2 又a>0 所以x<2/a,
函数在[0,1]有意义，所以[0,1]是定义域的子区间 所以2/a>1 故0<a<2
最后a>1与0<a<2取交集 得1<a<2

Answer 3

讨论a>1时 （2-ax)在【0,1】上有意义且减函数
2-a>0 a<2
0<a<1时 （2-ax)在【0,1】上有意义且增函数
无解
所以 1<a<2

Answer 4

函数为一复合函数
故对于函数g(x)=2-ax,f(x)=loga(g(x))
g(x)和loga(g(x))增减性相反
所以。又因对数函数，所以a>0
故g(x)为减函数，则loga(g(x))为增函数，故a>1
又x的定义域为x<2/a 解不等式得a<2/x
2/x的最小值为2，当x=1时取得
故a<2

综上1<a<2