高中对数函数
已知函数f(x)=㏒a(2-ax),是否存在实数a,使函数f(x)在【0,1】上是关于x的减函数,若存在,求a的取值范围。...
已知函数f(x)=㏒a(2-ax),是否存在实数a,使函数f(x)在【0,1】上是关于x的减函数,若存在,求a的取值范围。
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在f(x)中底数a>0,所以2-ax减函数,又因为f(x)减,所以外函数增,即a>1
函数定义域 2-ax>0 ax<2 又a>0 所以x<2/a,
函数在[0,1]有意义,所以[0,1]是定义域的子区间 所以2/a>1 故0<a<2
最后a>1与0<a<2取交集 得1<a<2
函数定义域 2-ax>0 ax<2 又a>0 所以x<2/a,
函数在[0,1]有意义,所以[0,1]是定义域的子区间 所以2/a>1 故0<a<2
最后a>1与0<a<2取交集 得1<a<2
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讨论a>1时 (2-ax)在【0,1】上有意义且减函数
2-a>0 a<2
0<a<1时 (2-ax)在【0,1】上有意义且增函数
无解
所以 1<a<2
2-a>0 a<2
0<a<1时 (2-ax)在【0,1】上有意义且增函数
无解
所以 1<a<2
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函数为一复合函数
故对于函数g(x)=2-ax,f(x)=loga(g(x))
g(x)和loga(g(x))增减性相反
所以。又因对数函数,所以a>0
故g(x)为减函数,则loga(g(x))为增函数,故a>1
又x的定义域为x<2/a 解不等式得a<2/x
2/x的最小值为2,当x=1时取得
故a<2
综上1<a<2
故对于函数g(x)=2-ax,f(x)=loga(g(x))
g(x)和loga(g(x))增减性相反
所以。又因对数函数,所以a>0
故g(x)为减函数,则loga(g(x))为增函数,故a>1
又x的定义域为x<2/a 解不等式得a<2/x
2/x的最小值为2,当x=1时取得
故a<2
综上1<a<2
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