Question

①已知cos(π/4-a)=3/5,sin(3π/4+b)=5/13,其中π/4<a<3π/4,0<b<π/4,求sin(a+b)的值

①已知cos(π/4-a)=3/5,sin(3π/4+b)=5/13,其中π/4<a<3π/4,0<b<π/4,求sin(a+b)的值

②13sinα+5cosβ=9,13cosα+5sinβ=15,求sin（α+β）

Answer 1

1.因为(3π/4+b)-(π/4-a)=b+a+π/2
所以cos[（a+b）+π/2]=cos(a+b)*cosπ/2-sin(a+b)*sinπ/2=-sin(a+b)
所以sin(a+b)=-cos[（a+b）+π/2]=-cos[(3π/4+b)-(π/4-a)]
=-[cos(3π/4+b)*cos(π/4-a)+sin(3π/4+b)*sin(π/4-a)]
由π/4<a<3π/4,0<b<π/4，得-π/2<π/4-a<0；3π/4<3π/4+b<π
又cos(π/4-a)=3/5, sin(3π/4+b)=5/13
所以sin(π/4-a)=-4/5, cos(3π/4+b)=-12/13
因此sin(a+b)=-cos[（a+b）+π/2]=-cos[(3π/4+b)-(π/4-a)]
=-[cos(3π/4+b)*cos(π/4-a)+sin(3π/4+b)*sin(π/4-a)]
=-[3/5*(-12/13)+5/13*(-4/5)]=36/65+20/65=56/65
2.将13sinα+5cosβ=9,13cosα+5sinβ=15两式分别平方得：
169sin^2α+130sinαcosβ+25cos^2β=81
169cos^2α+130cosαsinβ+25sin^2β=225
以上两式相加并整理得：
130（sinαcosβ+cosαsinβ=225+81-169-25
sin（α+β）=112/130=56/65

Answer 2

1. cos（π/4-a）=3/5，
   可以求出sin（π/4-a）=±4/5
   又π/4＜a＜3π/4， -π/2＜π/4-a＜0
   ∴sin（π/4-a）=-4/5
   同理：
   sin(3π/4+b)=5/13；
   cos（3π/4+b）=-12/13
   
   注意：a+b=[（3π/4+b）-（π/4-a）]-π/2
   ∴sin（a+b）=sin{[（3π/4+b）-（π/4-a）]-π/2}=-cos{[（3π/4+b）-（π/4-a）]=-cos（3π/4+b）cos（π/4-a）]-sin（3π/4+b）sin（π/4-a）]
   =-（-12/13）*（3/5）-（5/13）（-4/5）=56/65