Question

设函数f(x)的定义域为R,当x<0时,0<f(x)<1,且对任意的实数x,y∈R,

设函数f(x)的定义域为R,当x<0时,0<f(x)<1,且对任意的实数x,y∈R,有f（x+y）=f（x）*f（y）
1.求f（0）
2.求证：函数f（x）在R上是单调递增函数

Answer 1

令x=y=0带入得到 f(0)f(0)=f(0)
所以f(0)(f(0)-1)=0
假如f(0)= 0; 那么对任意x f(x)f(0)=f(0+x)=f(x)=0 ,而x<0时,f(x)>1 矛盾
所以f(0)=1

令x>0,那么-x<0 f(-x)>1
又f(x)f(-x)=f(0)=1
所以0< f(x)=1/f(-x)<1
现在判断单调性:
任取x1<x2 ,显然x1-x2<0 f(x1-x2)>1
f(x2)f(x1-x2)=f(x1)
所以f(x1)/f(x2)=f(x1-x2)>1
f(x1)>f(x2)
f(x)是递减函数

Answer 2

f<0>=0

Answer 3

1.f<-1>=f(-1+0)=f(-1)*f(0)
所以f(0)=1 [ 0<f(-1)<1 ]

Answer 4

1. 令X=1，Y=0，则有F（1）=F（1）*F（0）所以F（0）=1