Question

高中三角函数题

若2sina^2+sinb^2-2sina=0,则cosa^2+cosb^2的取值范围是？

A [1,5] B [1,2] C [1,9/4] D [1,正无穷）

答案是B.要详解，顺便写写遇到这种题该如何解决。谢了

Answer 1

2sin²a+sin²b-2sina=0
cos²a+cos²b的取值范围：
这类题的试题咱们分析一下：
显然首先一步消去角，化为一个角的三角函数（一个未知数便于求范围）；
其次，消去一个未知数，剩下的想办法（利用配方，数形结合，不等式性质，函数单调性等等）求出最大值和最小值；；
中间要注意：未知数的取值范围这个是最容易忽略的地方：
下面咱们解题：
1）想办法消去一个未知数b
由已知条件：2sin²a+sin²b-2sina=0
得到：sin²b=2sina-2sin²a，1-cos²b=2sina-2sin²a
cos²b=2sin²a-2sina+1
∴cos²a+cos²b=cos²a+2sin²a-2sina+1=sin²a-2sina+2=（sina-1）²+1
2）上面已经利用了配方，下面就求另一个未知数sina的取值范围：
∵sin²b=2sina-2sin²a
sin²b∈[0,1]
∴0≤2sina-2sin²a≤1
解：0≤sina≤1
3）利用未知数sina的取值范围求出结果：
cos²a+cos²b=（sina-1）²+1
∵sina∈[0，1]
∴sina=1时，cos²a+cos²b取得最小值1；
sina=0时，取得最大值为2；
∴选B；

Answer 2

两角化为一角
2sina^2+sinb^2-2sina=0
sinb^2=2sina-2aina^2
cosb^2=1-2sina+2sina^2

cosa^2+cosb^2=1-2sina+2sina^2+cosa^2
=2-2sina+sina^2
sinb^2=2sina-2aina^2>=0
0=< sina=<1

再配方求最值即可

Answer 3

我觉得是选A吧
因为2sina^2+sinb^2-2sina=0，所以cosb^2=1+2sina^2-2sina
所以cosa^2+cosb^2=cosa^2+1+2sina^2-2sina=2-2sina+sina^2
因为-1≤sinax≤1，所以-1≤sina^2≤1，-2≤-2sina≤2。
根据倒函数可得
当sina=-1时取得最大值5
当sina=1是取得最小值1