Question

线性代数的特征根和特征向量的问题

若λ0是k重根，则它对应的特征向量的个数能不能大于k？为什么？
说漏了，是线性无关的特征向量的个数。
不超过k是为什么？
为什么a是k重特征根的话，R(A-aE)就大于等于n-k?

Answer 1

1、若λ0是k重根，则它对应的特征向量的个数能不能大于k？为什么？
不能。
证明：假设a是A的k重特征值，但它对应的线性无关的特征向量有k+1个，则(aE-A)x=0的基础解系有k+1个线性无关的解向量，即(aE-A)X1+(aE-A)X2+...+(aE-A)Xk+(aE-A)Xk+1=0，所以A有k+1个特征值是a，即a是A的k+1重特征值，与假设矛盾，所以若λ0是k重根，则它对应的特征向量的个数不能大于k。

2、为什么a是k重特征根的话，R(A-aE)就大于等于n-k?
证明：由上题结论可知，a是k重特征根的话，它对应的线性无关的特征向量小于等于k个，则(aE-A)x=0的基础解系的向量个数小于等于k，即n-R(A-aE)<=k，所以R(A-aE)就大于等于n-k。

Answer 2

k重根最多对应k个特征向量,根据特征向量的求法，是先求出特征根a，再用它构造齐次线性方程组（aI-A)x=0，它的非零解就是特征向量，因为aI-A的秩大于等于n-k，所以方程（aI-A)x=0的基础解系等于n减aI-A的秩，小于等于k 。

Answer 3

不能，k重根最多对应k个特征向量

Answer 4

若a是A的k重特征根,知道Rank(A-a）大于等于n-k，
所以方程(A-a)x=0的解系等于n-Rank(A-a)小于等于k