Question

一道高中数学函数选择.高手来.联考题

9.若函数y=f(x)满足f’（x）>f(x)
则当a>0时f(a)与 e^af(0)之间的大小关系为.
A.f(a)<e^af(0) B.f(a)>e^af(0)
C.f(a)=e^af(0) D.与f(x)或a无关，不能确定.

答案是B 求原因...谢谢了。。

Answer 1

考察辅助函数：F(x)=exp(-x)*f(x).
则F'(x)=-exp(-x)*f(x)+exp(-x)*f'(x)
=exp(-x)[f'(x)-f(x)].
由题设f'(x)>f(x),即f'(x)-f(x)>0.
故知F'(x)>0.由此知F(x)单调增加。
故a>0时有F(a)>F(0).即
exp(-a)*f(a)>exp(-0)*f(0),
即exp(-a)*f(a)>f(0),
即f(a)>exp(a)f(0).
证明毕。

Answer 2

电脑上写起来很麻烦，我给你简单说一下，导数大于原函数，你找个函数带进去，你得分情况考虑，a的范围在（0，1)之类的，验证法，做题嘛，图的是速度！
考察辅助函数：F(x)=exp(-x)*f(x).
则F'(x)=-exp(-x)*f(x)+exp(-x)*f'(x)
=exp(-x)[f'(x)-f(x)].
由题设f'(x)>f(x),即f'(x)-f(x)>0.
故知F'(x)>0.由此知F(x)单调增加。
故a>0时有F(a)>F(0).即
exp(-a)*f(a)>exp(-0)*f(0),
即exp(-a)*f(a)>f(0),
即f(a)>exp(a)f(0).
证明毕。

Answer 3

都忘了多少年了