Question

几道简单的数学题

1。设f(x)是定义在R上的奇函数，且y=f(x)的图像关于直线想x=1/2对称，则f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)=?

2。定义在[-1,1]上的函数f(x)是偶函数，g(x)与f(x)的图像关于直线x=1对称，且当x∈[2,3]时，g(x)=2a(x-2)-4(x-2)³（a为实常数）
（1）求函数f(x)的表达式；
(2)是否存在正实数a（a＞6），使函数f(x)的图像的最高点在直线y=12上，若存在，求出正实数a的值，若不存在，请说明理由。

(请详写解答过程）

Answer 1

1.
f(5-1/2)=f(1/2-4) => f(5)=f(-4) f(-4)=-f(4)=> f(5)=-f(4)
(对称1/2) （原点对称）
f(4-1/2)=f(1/2-3) =>f(4)=f(-3) f(-3)=-f(3) => f(4)=-f(3)
同理： f(3)=-f(2)
f(2)=-f(1)
f(1)=-f(0)=0
所以：f(1)=f(2)=f(3)=f(4)=f(5)=0 => f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)=0
2.
(1). 关于x=1对称 => 当x在-1到0之间时：f(x)=g(2-x)=-2ax-4(-x)^a
关于y对称 => 当x在0到1之间时： f(x)=f(-x)=2ax-4x^a
(2). x>0时f(x)的导数为：y'=2a-4ax^a=0 => x^a=1/2
y=2ax-2=12 => ax=7
联立上面两个关于a,x的方程
解方程组得：a=7.7 x=0.91

Answer 2

1+1=2 2+1=3