Question

已知圆c：x^2+y^2+2x-4y+3=0，

从圆C外一点（x1,y1)向圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有|pm|=|po|,求使|pm|最小的点P的坐标？

Answer 1

解：将x^2+y^2+2x-4y+3=0
配方得：
（x+1)^2+（y-2)^2=2
所以圆心C(-1,2)
半径r=√2
因为|PM|=|PO|
则┃|PM|^2=|PO|^2
PM|^2=|PC|^-|CM|^2=|PO|^2
即：(X1+1)^2+(Y1-2)^2-2=X1^2+Y1^2
2X1-4Y1+3=0
2X1=4Y1-3
求┃PM┃最小值，即┃PO┃=√X1^2+Y1^2最小值
令S=√(X1^2+Y1^2
4S^2=4(X1^2+Y1^2)
=(2X1)^2+4Y1^2
=(4Y1-3)^2+4Y1^2=20(Y1-3/5)^2+9/54S^2≥9/5S ≥3√5/10
此时Y1=3/5,X1=-3/10
所以P点坐标（-3/10,3/5)
┃PM┃最小值为3√5/10

Answer 2

把圆的方程化为圆点式
(x+1)^2+(y-2)^2=2
设直线方程为
Y=kx
又因为直线与圆相切，则圆点(-1，2)到直线的距离为√2
可以求出来k的值
k=2+√6
或k=2-√6
所以切线方程为Y=(2+√6)或Y=(2-√6)x