Question

已知an≥0,n∈N*,关于x的一元二次方程为x^2－anx－1=0的两个实根αn,βn,

已知an≥0,n∈N*,关于x的一元二次方程为x^2－anx－1=0的两个实根αn,βn,满足αn＞βn,且a1=0,α(n+1）=αn-βn.
⑴求数列｛an｝的通向公式
⑵求数列｛αn｝,｛βn｝的通向公式
紧急啊，大家表无视我嘛

Answer 1

你检查一下，题目应该抄错了一个地方，不然不可能做出来
应该是a(n+1）=αn-βn
（1）αn+βn=an
αn*βn=-1
αn-βn=√[(αn+βn)2-4αn*βn]
=√（an2+4）
=a(n+1)
即an2-a(n-1)2=4
即{an2}是公差为4的等差数列
an2=a12+4（n-1）=4(n-1)
an=2√（n-1）
(2)由αn+βn=an=2√（n-1）；αn-βn=a(n+1)=2√n
2αn=2√（n-1）+2√n
αn=√（n-1）+√n(n∈N*)
2βn=2√（n-1）-2√n
βn=√（n-1）-√n(n∈N*)