Question

求一道数学题的解法

已知函数f（x）=log（3）（mx^2+8x+n/x^2+1)定义域为（-∞，+∞），值域为（0，2）求m，n的值

Answer 1

首先，真数必须大于0 ，而 (x^2 + 1)>0 ，∴只需mx^2+8x+n > 0 ，
若m =0 ，由x∈(-∞，+∞)不能保证8x+n > 0 ，∴m≠0
令F(x) =(mx^2 +8x +n)/(x^2 +1)，显然F(x)>0。
当x趋近于无穷时，F(x)的极限值就是分母与分子最高次项系数的比值m
∴m>0 ，∴F(x)开口向上，∴log(3) (m) = 2 ，∴m = 9
配方：F(x) = 9x^2 + 8x + n= 9[x +(4/9)]^2+[n-(16/9)]
显然，x =-4/9时 ，有：f(x) = 0 ，此时[n -(16/9)]/(x^2+1) = 1
∴n -(16/9) = 1+(16/81)
∴n = 241/81