Question

一道数学难题

某校举行春季运动会时，由若干名学生组成一个8列的长方形队列，如果原小队列中增加120人，就能组成一个正方形列队；如果原队列中减少120人，也能组成一个正方形队列问原长方形队列有多少名同学？
尽量用算术方法做！！！

Answer 1

这样想：增加人数后是大正方形，减少人数后是小正方形，把人看作是单位1的边长，总人数看作面积，因为长方形是8列，所以减少人数后最大边长是8的正方形，8*8+240=304不是平方数，所以不可能是8，于是算7*7+240=289=17²符合题意，另外还有4*4+240=256=16²也符合题意，于是再算7*7+120=169，不可能分成8列的长方形，所以排除。而4*4+120=136=8*17可以分成8列，符合题意
所以最后答案是：原长方形队列有136名同学！

Answer 2

如果原列队中增加120人，就能组成一个正方形列队；设有a^2人.如果原列队中减少120人，也能组成一个正方形列队，设有b^2人

120+120=a^2-b^2.(a>b)
(a+b)(a-b)=240=2^4*3*5
因为a+b,a-b都是同奇同偶.
所以a+b,a-b都是偶数.
8列的长方形列队，增加或120人或减少120人.
还是可以给8整除,
a^2,b^2是8的倍数.
所以a,b都是4的倍数.
a+b,a-b是4的倍数

a+b=2^2*15=60,a-b=2^2
a=32,b=28
a^2-120=904

或a+b=2^2*5=20,a-b=2^2*3=12
a=16,b=4
a^2-120=136

原长方形列有136或904名同学