Question

已知二次函数f(x)=ax^2+bx,f(x+1)为偶函数,函数f(x)的图象与直线y=x相切

已知二次函数f(x)=ax^2+bx,f(x+1)为偶函数,函数f(x)的图象与直线y=x相切.
（1）求f（x）的解析式
（2）若函数g(x)=［f(x)-k］x在（-∞，+∞）上是单调减函数，求k的取值范围。

加急！！重点第二问步骤

Answer 1

令h(x)=f(x+1)=a(x+1)^2 +b(x+1)
h(x)为偶函数
所以：h(x)=h(-x)
即：a(x+1)^2 +b(x+1)=a(-x+1)^2 +b(-x+1)
即：（2a+b）*x=0
所以：2a+b=0 ....... (1)式

函数f(x)的图象与直线y=x相切
即：(b-1)^2 -4a*0=0
即：b=1 ..............(2)式
联立(1)式和(2)式得出：
a=-1/2 b=1
即：f(x)=-0.5x^2 +x

2、g(x)=〔f(x)-k〕*x
=-0.5x^3 +x^2 -kx
因为g(x)在（-∞，+∞）上是单调减函数
所以：导数g'(x)=(-3x^2 )/2 +2x -k <=0在
（-∞，+∞）上恒成立，
又因为开口向下，
则：令△=4-4*（-3/2）*(-k) <=0
即：k>=2/3