Question

函数已知函数f（x）对任意实数x均有f（x）＝kf（x＋2）.........

已知函数f（x）对任意实数x均有f（x）＝kf（x＋2），其中k为负数，且f（x）在[0,2]上有表达式f（x）＝x（x-2）
(1)求f(-1)f(2.5)的值
(2)写出f(x)在[-3,3]上的表达式并讨论函数f(x)在[-3,3]单调性
(3)求出f(x)在[-3,3]上的最大值与最小值并求出相应的自变量的取值

Answer 1

（1）∵f(x)=kf(x+2) ∴f（0.5）=kf（2.5）=f（0.5）/k=-3/（4k）
同理f（-1）=kf（1）=-k
（2）∵f（x）=kf（x+2） ∴f（x+2）=f（x）/k
因此f（2）到f（3）可换为f（0+2）到f（1+2）
即x∈【0,1】时f（x+2）=f（x）/k 因为【0,1】包含于【0，2】
所以f（x+2）=x*（x-2）/k 所以f（t）=（t-4）（x-2）/k t∈【2,3】
即f（x）=（x-4）（x-2）/k x∈【2,3】
同理当x∈【0,2】时 f（x）=x*（x-2）
当x∈【-2,0】时f（x）=kx（x-2）
当x∈【-3，-2】时f（x）=k²x（x-2）

Answer 2

f(x)=(x^2-x-1/a)e^(ax) (a>0)

f'(x)=(ax^2+2x-ax-2)*e^(ax)
1)
a=2
f'(x)=2(x^2-1)*e^(2x)
f'(x)>=0
x>=1 或x<=-1
故在（-1，1）上单调减
在(负无穷，-1]和[1，正取穷)上为单调增

2）
令g（x）=f(x)+3/a
那么g'(x)=f'(x)=(ax^2+2x-ax-2)*e^(ax)
令g'(x)=0
可知
ax^2+2x-ax-2=0 (e^(ax) 恒>0)
a>0
可知
x1=1 x2=-2/a

可知
x1=1为最小值点
即
g(1)>=0
a>0
得
0<a<=ln3

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