Question

很简单的函数题目

函数f(x)=3^(2x)-(k+1)*3^x+2,当f(x)恒大于零，求k的取值范围。
一种是二次函数的做法，比较麻烦，还有一个做法，忘了原理是什么了，麻烦帮下忙。谢谢！
为什么用Δ做是不对的？答案是（-∞，2√2-1）

Answer 1

解：令t = 3^x，则t＞0，

那么f（x） = t² - （k + 1）t + 2

要当X属于R时，f（x）恒为正

则t² - （k + 1）t + 2＞0恒成立，

即：t² + 2＞（k +1）t

∴（t² + 2)/t ＞ k + 1

故k ＜ t + 2/t - 1

对于t + 2/t而言，

当t = √2时， t + 2/t 有最小值2√2

而当k小于 t + 2/t - 1的最小值时，原式恒成立，

∴k ＜2√2 - 1

Answer 2

令t=3^x 则函数化为g(t)=t^2-(k+1)t+2 (t>0)
函数f（x）=3^2x-(k+1)*3^x+2,当x∈R时，f（x）恒大于零
即 g(t)=t^2-(k+1)t+2>0
其判别式小于零 即
（k+1)^2-4*2<0
k^2+2k-7<0
-2根2-1<k<2根2-1