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x1∈A,则存在a1、b1∈Z,使得x1=a1^2+b1^2
x2∈A,则存在a2、b∈Z,使得x1=a2^2+b2^2
∴x1·x2
=(a1^2+b1^2)(a2^2+b2^2)
=a1^2a2^2+a1^2b2^2+a2^2b1^2+b1^2b2^2
=a1^2a2^2+b1^2b2^2+2a1a2b1b2+a1^2b2^2+a2^2b1^2-2a1a2b1b2
=(a1a2+b1b2)^2+(a1b2-a2b1)^2
显然,a1a2+b1b2∈Z,a1b2-a2b1∈Z
故x1·x2∈A
x2∈A,则存在a2、b∈Z,使得x1=a2^2+b2^2
∴x1·x2
=(a1^2+b1^2)(a2^2+b2^2)
=a1^2a2^2+a1^2b2^2+a2^2b1^2+b1^2b2^2
=a1^2a2^2+b1^2b2^2+2a1a2b1b2+a1^2b2^2+a2^2b1^2-2a1a2b1b2
=(a1a2+b1b2)^2+(a1b2-a2b1)^2
显然,a1a2+b1b2∈Z,a1b2-a2b1∈Z
故x1·x2∈A
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x1*x2=[a^2+b^2]*[c^2+d^2]=ac2+bc2+db2+ad2
=ac2+bc2-2acbd+2acbd+db2+ad2=
(ac-bd)^2+(ac+bd)^2
=ac2+bc2-2acbd+2acbd+db2+ad2=
(ac-bd)^2+(ac+bd)^2
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x1,x2∈A ,设x1=a^2+b^2,x2=c^2+d^2,a,b,c,d∈z
所以x1*x2=(a^2+b^2)(c^2+d^2)=(ac-bd)^2+(ab+cd)^2∈A
所以x1*x2=(a^2+b^2)(c^2+d^2)=(ac-bd)^2+(ab+cd)^2∈A
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设x1=(a1)^2+(b1)^2
x2=(a2)^2+(b2)^2,
故x1*x2=[(a1)^2+(b1)^2(a2)^2+(b2)^2,]
=(a1a2-b1b2)^2+(a1a2+b1b2)^2
x2=(a2)^2+(b2)^2,
故x1*x2=[(a1)^2+(b1)^2(a2)^2+(b2)^2,]
=(a1a2-b1b2)^2+(a1a2+b1b2)^2
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令x1∈A,a1、b1∈Z,且x1=a1^2+b1^2
同时令x2∈A,a2、b∈Z,且x1=a2^2+b2^2
∴x1·x2
=(a1^2+b1^2)(a2^2+b2^2)
=a1^2a2^2+a1^2b2^2+a2^2b1^2+b1^2b2^2
=a1^2a2^2+b1^2b2^2+2a1a2b1b2+a1^2b2^2+a2^2b1^2-2a1a2b1b2
=(a1a2+b1b2)^2+(a1b2-a2b1)^2
显然,a1a2+b1b2∈Z,a1b2-a2b1∈Z
故x1·x2∈A
同时令x2∈A,a2、b∈Z,且x1=a2^2+b2^2
∴x1·x2
=(a1^2+b1^2)(a2^2+b2^2)
=a1^2a2^2+a1^2b2^2+a2^2b1^2+b1^2b2^2
=a1^2a2^2+b1^2b2^2+2a1a2b1b2+a1^2b2^2+a2^2b1^2-2a1a2b1b2
=(a1a2+b1b2)^2+(a1b2-a2b1)^2
显然,a1a2+b1b2∈Z,a1b2-a2b1∈Z
故x1·x2∈A
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x1,x2∈A ,设x1=a^2+b^2,x2=c^2+d^2,a,b,c,d∈z
所以x1*x2=(a^2+b^2)(c^2+d^2)=(ac-bd)^2+(ab+cd)^2∈A
所以x1*x2=(a^2+b^2)(c^2+d^2)=(ac-bd)^2+(ab+cd)^2∈A
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