Question

问两道关于数列的数学题

一题 ： 1+1/(1+2)+1/(1+2+3)+…+1/(1+2+3+…+n）=？

二题 ： 等差数列{An}的前m项之和是30，前2m项之和为100，则它的前3m项之和为？
A.130 B.170 C.210 D.260

三题 ： 数列 1又1/3，2又1/9，3又1/27，4又1/81,…的前n项和为？

Answer 1

一题 ：1/(1+2+3+…+n）=2/[n(n+1)]=2/n-2/(n+1),则
1+1/(1+2)+1/(1+2+3)+…+1/(1+2+3+…+n）
=[2/1-2/2]+[2/2-2/3]+[2/3-2/4]+…+[2/n-2/(n+1)]
=2-2/(n+1)=2n/(n+1)

二题 ： 设等差数列{An}的前3m项之和为x,则有
2*(100-30)=30+(x-100),x=210.故选C.

三题 ： 数列 1又1/3，2又1/9，3又1/27，4又1/81,…的前n项和为:
(1+2+3+…+n)+(1/3+1/9+1/27+…+1/3^n)
=n(n+1)/2+[1/3(1-1/3^n)/(1-1/3)]
=n(n+1)/2+ (1-1/3^n)/2

Answer 2

1。
1/(1+2+3+…+n) =2/(n(n+1)) =2/(1/n-1/(n+1))
sn =2(1/1-1/2+1/2-1/3+.....+1/n-1/(n+1))
=2(1-1/(n+1))
=2n/(n+1)
当n＝1时,
s1=2*1/(1+1) =1 成立
当n＝k时，假设成立
sk＝2k/(k+1)
当n＝k+1是
s(k+1)= sk +1/(1+2+3+…+(k+1))
=2k/(k+1)+ 2/((k+1)(k+2))
=2(k/(k+1)+1/(k+1)-1/(k+2))
=2(1-1/(k+2))
=2(k+1)/((k+1)+1) 成立

2。C
在等差数列中，Sm，S2m－Sm，S3m－S2m亦成等差数列，

∴ Sm＋(S3m－S2m)=2(S2m－Sm)，

则 S3m=3(S2m－Sm)=3(100－30)=210

3。
Sn=1+2+3+4+...+n+1/3+1/9+1/27+...+1/（3^n）=1/2（n^2+n）+1/2-1/（2*3^n）
这个答案我不是很确定，你自己再带一下公式吧！

PS：^ 是指好多次方的意思，如3^2，就是3的平方，2^n，是2的n次方！

Answer 3

(2n-2)/n C n(n+1)/2 + 1 -(1/3)的n次

Answer 4

1)an=1/(1+2+3+…+n）=2/n(n+1)=2[1/n-1/(n+1)]
1+1/(1+2)+1/(1+2+3)+…+1/(1+2+3+…+n）=2[1-1/2+1/2-1/3+.....+1/n-1/(n+1)]=2[1-1/(n+1)]=2n/(n+1)

2)等差数列性质Sm、S2m-Sm、S3m-S2m仍然呈等差数列
所以30+(S3m-100)=2(100-30) =>S3m=210

3)an=n+(1/3)^n 等差数列和等比数列分别求和
sn=n(n+1)/2+1/2*[1-(1/3)^n]

Answer 5

一题、先求An=1/(1+2+3+…+n）= 2/【(n+1)n】
所以 An=2[1/n-1/(n+1)]

所以 Sn = 2[1/1-1/2+1/2-1/3+.....+(1/n) - 1/(n+1)]
所以 Sn = 2n/(n+1)

二题、选C
在书上有个公式
Sn S2n-sn S3n-S2n 成等差数列
所以 30 100-30
=70

所以 S3n-S2n= 70*2-30= 110
S3n = 100+110= 210
三题、先拆开
(1 + 1/3 ) +(2 + 1/9)+ ……
就分开求数列
An=n 首项为1 公差为1 的等差数列

Bn=(1/3)^n 首项为三分之一 公比为三分之一的等比数列

Sn=n(n+1)/2 + [1-(1/3)^n]/2