Question

高中数学题。。。

已知二次函数f（x）的二次项系数为a，且不等式f（x）>-2x的解集为（1，3），求（1）若方程f（x）+6a有两个相等的根，求f（x）的解析式
（2）若f（x）的最大值为正数，求a的取值范围

Answer 1

1.
(1)令 f(x) = ax^2+bx+c
因不等式f(x)＞-2x的解集为(1,3)，知 a<0
且对于方程 ax^2+(b+2)x+c =0
由根与系数的关系有
x1+x2 = -(b+2)/a = 4
x1x2 = c/a=3
由方程f(x)+6a=0有两个相等的实数根
则 △= b^2-4ac = b^2-4a(6a+c) =0

将 b=-(4a+2), c=3a 代入，得
(2a+1)^2 -9a^2 = 0
即(5a+1)(1-a)=0
解得 a=1（舍去）, a=-1/5
所以
a=-1/5 , b= -6/5, c=-3/5

则f(x)的解析式为 f(x) = -1/5x^2 -6/5x -3/5

(2) 因a<0,且 b=-(4a+2), c=3a
则
f(x) = ax^2+bx+c = ax^2 -(4a+2)x +3a
要使f(x)的最大值为正数，则只需
△= (4a+2)^2 -4*a*(3a)>0
即a^2+4a+1>0
解得
a<-2-√3 或a>-2+√3
所以
a的取值范围是 (-∞,-2-√3)∪(-2+√3,0)