Question

数学导数问题

已知定义在正实数集上的函数f(x)=x^2+4ax+1,g(x)=6a^2lnx +2b+1,其中a>0,(1)设两曲线y=f(x),y=g(x)有公共点，且在该点处的切线相同，用a表示b，并求b的最大值，（2）设h(x)=f(x)+g(x),试证明：若a>(√3)-1,则对任意x1,x2∈(0,+∞),x1≠x2有{[h(x2)-h(x1)]/(x2-x1)}>8

要详细过程，谢谢

Answer 1

1、

f'(x)=2x+4a

g'(x)=6a^2/x

令f'(x)=g'(x)

解之得x=a,或，x=-3a(舍去)

又因为f(a)=g(a),带入并化简

2b=5a^2-6a^2lna

令k(a)=5a^2-6a^2lna

k'(a)=4a-12alna

令k'(a)=0,得a=e^(1/3)

b最大值为k(e^(1/3))/2=3/2·e^(2/3)

2、

h(x)=x^2+4ax+1+6a^2lnx +2b+1

h'(x)=2x+4a+6a^2/x》4a+2√（12a^2）=4a(√3+1)

当a>(√3)-1时，4a(√3+1）>8

{[h(x2)-h(x1)]/(x2-x1)}是割线的斜率。

所以{[h(x2)-h(x1)]/(x2-x1)}>8

（不懂再询问）

Answer 2

你先检查下这里是 6 吗？
【6】a^2lnx

Answer 3

不知你现在在线不，可否在线联系~~

Answer 4

(1)
设两曲线的公共点是（x1,y1)
那么有：
y1=x1^2+4ax1+1 (1)
y1=6a^2lnx1+2b+1 (2)

两曲线在这点切线相同
即两曲线在这点导数相同
所以有
f'(x1)=2x1+4a=g'(x1)=6a^2/x1
化简得 x1^2+2ax1-3a^2=0
因为a>0,g(x)定义域要求x>0
所以 x1=a
代人（1）（2）得
y1=5a^2+1=6a^2lna+2b+1
b=a^2*(5-6lna)/2
b是a的一个函数，b对a求导得
b'=5a-6alna-3a=2a-6alna
b'=0时，2a-6alna=0
lna=1/3
a=e^(1/3)
可以验证，当a<e^(1/3)时，导数大于0，a>e^(1/3)导数小于0
即a=e^(1/3)时有最大值
b=a^2=e^(2/3)

(2)易知h(x)在(0,+∞)上可导
h'(x)=2x+4a+6a^2/x
根据拉格朗日定理
对任意的x1,x2∈(0,+∞) ,不妨设x1<x2,[h(x2)-h(x1)]/(x2-x1)=h'(§)=2§+4a+6a^2/§
其中x1<§<x2.
h'(§)=2§+6a^2/§+4a>=2√[2§*(6a^2/§)]+4a=4a(√3+1)>4(√3-1)(√3+1)=8