Question

有一题数学题不会 请大家帮忙~

若函数f(x)=a｜x-b｜+2在x∈[0,+∞)上为增函数，则实数a,b的取值范围是——.
写出解释

Answer 1

对于本题而言，+2不影响原函数的单调性。因为|x-b|≥0恒成立，因而若使原函数为增函数，则：
当a＞0时，需使|x-b|为增函数，而x∈[0,+∝），则b≤0；
当a＜0时，需使|x-b|为减函数，而x∈[0,+∝），则|x-b|不可能为减函数；
当a=0时，f（x）=2，舍去
综上所述，当a＞0，b≤0时成立。
注:“当a<0时:当x-b<=0时f(x)为增函数”错误，因为此处函数单调性与符号无关，而需使x-b≤0且为减函数才能使f(x)为增函数。
另：利用求导的方式求：
当x≥b时，f(x)=ax-ab+2，f'(x)=a，即当b小于等于x的最小值(b≤0)且a＞0时f(x)为增函数；
当x＜b时，f(x)=ab-ax+2，f'(x)=-a，即当b大于x的最大值(因x∈[0,+∝）所以不存在)且a＜0时为增函数；
综上所述，当a＞0，b≤0时成立。

Answer 2

a>0,b<=0,画出图像，顶点在（b，2）的一个V字型（或者倒V字型，由a的符号决定）

Answer 3

a必需>0，因为当小于或等于时，不能使此函数为增函数， b≤0，因为x∈[0,+∞)所以此题绝对值内的数必需都为正，才能函数f(x)=a｜x-b｜+2在x∈[0,+∞)上为单调函数，所以b≤0.
希望对你有帮助。

Answer 4

x>>+∞,x-b>>+∞。因为单调，因此x-b>0;
递增函数，a>0